题目内容
已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程y=| 4 |
| 3 |
| 9 |
| 5 |
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）求证：
| FM |
| FN |
分析：（Ⅰ）先设双曲线方程为：
-
=1，根据题意可得关于a、b的方程组，解可得答案；
（Ⅱ）根据题意，易得A1、A2、F的坐标，设P（x，y）、M（
，y0），易得向量
=(x+3，y)，
=(
，y0)，又由共线向量的坐标运算，可得M的坐标，进而可得N的坐标，
由此可得：
与
的坐标，即可得
•
=
-
•
；结合双曲线的方程，代换可得证明．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅱ）根据题意，易得A1、A2、F的坐标，设P（x，y）、M（
| 9 |
| 5 |
| A1P |
| A1M |
| 24 |
| 5 |
由此可得：
| FM |
| FN |
| FM |
| FN |
| 256 |
| 25 |
| 144 |
| 25 |
| y2 |
| x2-9 |
解答：解：（Ⅰ）依题意可设双曲线方程为：
-
=1，
则
?
∴所求双曲线方程为
-
=1
（Ⅱ）A1（-3，0）、A2（3，0）、F（5，0），设P（x，y），M（
，y0），
=(x+3，y)，
=(
，y0)，
∵A1、P、M三点共线，
∴(x+3)y0-
y=0∴y0=
即M(
，
)，
同理得N(
，-
)，
=(-
，
)，
=(-
，-
)，
则
•
=
-
•
∵
-
=1，
∴
=
；
∴
•
=
-
•
=
-
=0，即
•
=0（定值）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
则
|
|
∴所求双曲线方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 16 |
（Ⅱ）A1（-3，0）、A2（3，0）、F（5，0），设P（x，y），M（
| 9 |
| 5 |
| A1P |
| A1M |
| 24 |
| 5 |
∵A1、P、M三点共线，
∴(x+3)y0-
| 24 |
| 5 |
| 24y |
| 5(x+3) |
| 9 |
| 5 |
| 24y |
| 5(x+3) |
同理得N(
| 9 |
| 5 |
| 6y |
| 5(x-3) |
| FM |
| 16 |
| 5 |
| 24y |
| 5(x+3) |
| FN |
| 16 |
| 5 |
| 6y |
| 5(x-3) |
则
| FM |
| FN |
| 256 |
| 25 |
| 144 |
| 25 |
| y2 |
| x2-9 |
∵
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 16 |
∴
| y2 |
| x2-9 |
| 16 |
| 9 |
∴
| FM |
| FN |
| 256 |
| 25 |
| 144 |
| 25 |
| 16 |
| 9 |
| 256 |
| 25 |
| 256 |
| 25 |
| FM |
| FN |
点评：本题考查双曲线的有关性质，（Ⅱ）的证明运用了坐标法，结合向量的数量积的运算，是典型的解析几何方法，需要加强训练．
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