Question

经市场调查，某商品在30天内，其销售量（单位：件）和价格（单位：元）均为时间t（单位：天）的函数，且销售量近似地满足关系g（t）=-t+100（t∈N，0＜t≤30），在前15天里价格为f（t）=t+80（t∈N，0＜t≤15），在后15天里价格为f(t)=-

1

16

t+101(t∈N，16≤t≤30)．
（1）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；
（2）求这种商品的日销售额的最大值．

Answer 1

分析：（1）日销售额S=g（t）f（t），分0＜t≤15，16≤t≤30两种情况分别表示出来，然后写成分段函数即可；
（2）利用二次函数的性质分别求出S在（0，15]，[16，30]上的最大值，然后取其较大者即可；

解答：解：（1）当0＜t≤15时，S=g（t）f（t）=（-t+100）（t+80）；
当16≤t≤30时，S=g（t）f（t）=（-t+100）（-

1

16

t+101），
所以该种商品的日销售额S与时间t的函数关系为：S=

(-t+100)(t+80)(t∈N，0＜t≤15) (-t+100)(- t 16 +101)(t∈N，16≤t≤30)

；
（2）当0＜t≤15时，S=（-t+100）（t+80）=-（t-10）²+8100．
当t=10时，S_max=8100．                        
当16≤t≤30时，S=(-t+100)(-

t

16

+101)=

1

16

t2-

429

4

t+10100，
易知此时S在[16，30]上递减，所以当t=16时，S_max=8400．                    
日销售额的最大值为8400元．
综上可得，当t=16时，日销售额的最大值为8400元．

点评：本题考查函数解析式的求法及二次函数在闭区间上的最值，考查学生在实际问题中的建模能力．