题目内容

17.已知函数f(x)=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,若$\sqrt{3}$(b2+c2-a2)=4S,求f(A).

分析 (1)由三角函数公式化简可得f(x)=sin(2x+$\frac{π}{3}$),由周期公式可得;
(2)由余弦定理和面积公式易得A的方程,可得A值,代入计算可得f(A).

解答 解:(1)化简可得f(x)=sinxcosx+$\sqrt{3}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$•2sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$(2cos2x-1)
=$\frac{1}{2}$•sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=sin(2x+$\frac{π}{3}$),
∴f(x)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π;
(2)∵$\sqrt{3}$(b2+c2-a2)=4S,
∴$\sqrt{3}$(b2+c2-a2)=4×$\frac{1}{2}$bcsinA,
又由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,
∴b2+c2-a2=2bccosA,
∴2$\sqrt{3}$bccosA=2bcsinA,
∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=$\sqrt{3}$,∴A=$\frac{π}{3}$,
∴f(A)=sin(2×$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$)=0.

点评 本题考查三角函数恒等变换,涉及余弦定理和三角形的面积公式,属中档题.

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