题目内容
已知双曲线C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| FA |
| FB |
（1）求双曲线方程；
（2）过右焦点F作直线l交双曲线C右支于P，Q两点，问在原点与右顶点之间是否存在点N，使的无论直线l的倾斜角多大，都有∠PNF=∠QNF．
分析：（1）依题意可分别求得a和b，a和c的关系代入双曲线的方程，设出A，B的坐标利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用直线方程求得y1y2的表达式，进而利用
•
=4得关于a的方程求得a，则b可求．则椭圆的方程可得．
| FA |
| FB |
解答：解：（1）由题意知b2=2a2，c2=3a2，代入双曲线得x2+2x-1-2a2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有x1+x2=-2，x1x2=-2a2-1，y1y2=x1x2-（x1+x2）+1=-2a2+2．
又F(
a，0)，则
=(x1-
a，y1)，
=(x2-
a，y2)，
得
•
=x1x2-
a(x1+x2)+3a2+y1y2=4，
∴a2-2
a+3=0，
∴a=
，a2=3，b2=6，方程为
-
=1．
（2）直线l：y=k（x-3），(k≠
)．设P（x，y），Q（x3，y3），N（x4，y4），
联立方程得（2-k2）x2+6k2x-9k2-6=0，
得x3+x4=
，x3x4=
，kPN=
，kQN=
．
∵∠PNF=∠QNF，
∴kPN+kQN=
+
=
=0，
∴x=1， 0＜x＜
，所以存在点N．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则有x1+x2=-2，x1x2=-2a2-1，y1y2=x1x2-（x1+x2）+1=-2a2+2．
又F(
| 3 |
| FA |
| 3 |
| FB |
| 3 |
得
| FA |
| FB |
| 3 |
∴a2-2
| 3 |
∴a=
| 3 |
| x2 |
| 3 |
| y2 |
| 6 |
（2）直线l：y=k（x-3），(k≠
| 3 |
联立方程得（2-k2）x2+6k2x-9k2-6=0，
得x3+x4=
| 6k2 |
| k2-2 |
| 9k2+6 |
| k2-2 |
| k(x3-3) |
| x3-x |
| k(x4-3) |
| x4-x |
∵∠PNF=∠QNF，
∴kPN+kQN=
| k(x3-3) |
| x3-x |
| k(x4-3) |
| x4-x |
| k(8k2+12-18k2-12x) |
| (x3-x)(x4-x)(k2-2) |
∴x=1， 0＜x＜
| 3 |
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析问题和推理能力，基本的运算能力．
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