题目内容

已知函数f（x）=x⁴+ax³+bx²+c，其图象在y轴上的截距为-5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x=0，x=2时取得极小值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）能否找到垂直于x轴的直线，使函数f（x）的图象关于此直线对称，并证明你的结论；
*（Ⅲ）设使关于x的方程f（x）=λ²x²-5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A，且两个非零实根为x₁、x₂．试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+2≤|x₁-x₂|对任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x⁴+ax³+bx²+c，在y轴上的截距为-5，∴c=-5．
∵函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
∴x=1时取得极大值，又当x=0，x=2时函数f（x）取得极小值．
∴x=0，x=1，x=2为函数f（x）的三个极值点，
即f'（x）=0的三个根为0，1，2，∴f'（x）=4x³+3ax²+2bx=4x（x-1）（x-2））=4x³-12x²+8x．
∴a=-4，b=4，
∴函数f（x）的解析式：f（x）=x⁴-4x³+4x²-5．
（Ⅱ）若函数f（x）存在垂直于x轴的对称轴，设对称轴方程为x=t，
则f（t+x）=f（t-x）对x∈R恒成立．
即：（t+x）⁴-4（t+x）³+4（t+x）²-5=（t-x）⁴-4（t-x）³+4（t-x）²-5．
化简得（t-1）x³+（t³-3t²+2t）x=0对x∈R恒成立．
∴ $\text{[math]}$ ∴t=1．
即函数f（x）存在垂直于x轴的对称轴x=1．
（Ⅲ）x⁴-4x³+4x²-5=λ²x²-5恰好有三个不同的根，即x⁴-4x³+4x²-λ²x²=0恰好有三个不同的根，
即x²（x²-4x+4-λ²）=0，
∵x=0是一个根，
∴方程x²-4x+4-λ²=0应有两个非零的不相等的实数根，
∴△=16-4（4-λ²）=4λ²＞0，且x₁x₂=4-λ²≠0，∴λ≠0，-2，2．
若存在实数m，使得不等式m²+tm+2≤|x₁-x₂|对任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立．
∵|x₁-x₂|= $\text{[math]}$ =2|λ|＞0，
要使m²+tm+2≤|x₁-x₂|对任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立，只要m²+tm+2≤0对任意t∈[-3，3]恒成立，
令g（t）=tm+m²+2，则g（t）是关于t的线性函数．
∴只要 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ ，无解
∴不存在实数m，使得不等式m²+tm+2≤|x₁-x₂|对任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立．
分析：（Ⅰ）利用函数在y轴上的截距为-5，可求得c=-5．根据函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，可得x=1时取得极大值，当x=0，x=2时函数f（x）取得极小值．可知x=0，x=1，x=2为函数f（x）的三个极值点，
从而f'（x）=0的三个根为0，1，2，∴由此可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）假设存在对称轴方程为x=t，则f（t+x）=f（t-x）对x∈R恒成立．代入化简得（t-1）x³+（ t³-3 t²+2t）x=0对x∈R恒成立，从而可出对称轴x=1．
（Ⅲ）x⁴-4x³+4x²-5=λ²x²-5恰好有三个不同的根，等价于x⁴-4x³+4x²-λ²x²=0恰好有三个不同的根，由于x=0是一个根，所以方程x²-4x+4-λ²=0应有两个非零的不相等的实数根，从而可求λ的取值范围．要使m²+tm+2≤|x₁-x₂|对任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立，可转化为m²+tm+2≤0对任意t∈[-3，3]恒成立，构造函数g（t）=tm+m²+2，只要 $\text{[math]}$ ，从而可知不存在实数m，使得不等式m²+tm+2≤|x₁-x₂|对任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立．
点评：本题考查多项式的导数、函数的图象性质、二次方程根的判断，等价转换、化归思想等数学思想方法．解题时对恒成立问题的处理是关键．