Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（2-x）+f（x）=0和f（x-2）+f（x）=0，且当x∈[1，2]时f（x）=1-（x-2）²．若直线y=kx（k为常数），与函数f（x）的图象在区间（-2，5）上恰有4个公共点，则实数k的取值范围是（　　）

• A、（2

  15

  -8，0）
• B、（2

  3

  -4，0）
• C、（-

  1

  2

  ，0）
• D、（-

  1

  4

  ，0）

Answer 1

分析：依题意，可求得y=f（x）的图象关于（1，0）对称；①是偶函数；②是以4k（k∈Z且k≠0）为周期的函数；③函数f（x）关于直线x=2对称，④；依此作图，及可求得答案．

解答：解：∵f（2-x）+f（x）=0，
∴y=f（x）的图象关于（1，0）成中心对称对称；①
又f（x-2）+f（x）=0，
∴f（2-x）=f（x-2）=f[-（2-x）]，
∴函数f（x）为偶函数；②
又f（x-2）+f（x）=0，
∴f（x-2）=-f（x），
∴f（x-4）=-f（x-2）=f（x），
∴函数f（x）是以4k（k∈Z且k≠0）为周期的函数；③
由函数f（x）为偶函数得：f（2-x）+f（x）=0?f（2+x）+f（-x）=0?f（2+x）+f（x）=0，
∴f（2+x）=f（2-x），即函数f（x）关于直线x=2对称，④
又当x∈[1，2]时f（x）=1-（x-2）²，
∴由①②③④作图如下：

由图知，当k＞0时，直线y=kx（k为常数）与函数f（x）的图象在区间（-2，5）上恰有3个公共点，不符合题意；
∴k＜0，令y=g（x）=kx，
则g（4）=4k＞-1，
解得：-

1

4

＜k＜0．
故选：D．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的零点与方程根的关系，考查函数的对称性、周期性、奇偶性的综合应用，考查转化思想与作图能力，属于难题．