题目内容
20．已知函数f（x）=ln（ax+1）+x3-x2-ax（a∈R）．（1）若x=$\frac{2}{3}$为函数f（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若a=-1时，方程f（1-x）-（1-x）3=$\frac{b}{x}$有实数根，求实数b的取值范围．
分析 （1）求出函数的导函数，通过利用导函数为0，求解函数的极值点．
（2）当a=-1时，转化方程$f（1-x）-{（1-x）^3}=\frac{b}{x}$为$lnx-{（1-x）^2}+（1-x）=\frac{b}{x}$，得到b=xlnx-x（1-x）2+x（1-x）=xlnx+x2-x3在x＞0上有解，然后求解函数的值域，通过构造函数，利用函数的导数以及函数 单调性求出极值，得到结果．
解答 解：（1）$f'（x）=\frac{a}{ax+1}+3{x^2}-2x-a$=$\frac{{x[3a{x^2}+（3-2a）x-（{a^2}+2）]}}{ax+1}$…（1分）
由于$x=\frac{2}{3}$为y=f（x）的极值点，则有$f'（\frac{2}{3}）=0$，
即$3a{（\frac{2}{3}）^2}+\frac{2}{3}（3-2a）-（{a^2}+2）=0$且$\frac{2}{3}a+1≠0$，解得a=0．…（3分）
当a=0时，f'（x）=x（3x-2），
∵在$x=\frac{2}{3}$附近，$x＞\frac{2}{3}$时，f'（x）＞0；$x＜\frac{2}{3}$时，f'（x）＜0，
∴$x=\frac{2}{3}$为函数y=f（x）的极值点成立．…（5分）
（2）当a=-1时，由方程$f（1-x）-{（1-x）^3}=\frac{b}{x}$可得$lnx-{（1-x）^2}+（1-x）=\frac{b}{x}$，
∴b=xlnx-x（1-x）2+x（1-x）=xlnx+x2-x3在x＞0上有解，
即求函数g（x）=xlnx+x2-x3的值域，…（7分）
∵b=x（lnx+x-x2），令h（x）=lnx+x-x2
∴$h'（x）=\frac{1}{x}+1-2x=\frac{（2x+1）（1-x）}{x}$，…（9分）
∵x＞0，则当0＜x＜1时，h'（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数；
当x＞1时，h'（x）＜0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数，
∴h（x）≤h（1）=0；…（12分）
∵x＞0∴b=x（lnx+x-x2）≤0，…（13分）
而h（x）可以无穷小，即b的取值范围为（-∞，0]．…（14分）
点评 本题考查函数的极值的求法，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．
