题目内容
已知数列{xn}满足x1=x2=1并且| xn+1 |
| xn |
| xn |
| xn-1 |
（1）若x1、x3、x5成等比数列，求参数λ的值；
（2）设0＜λ＜1，常数k∈N*且k≥3，证明
| x1+k |
| x1 |
| x2+k |
| x2 |
| xn+k |
| xn |
| λk |
| 1-λk |
分析：（1）令n=2，3，4代入到
=λ
，(λ为非零参数，n=2，3，4，…）中得到x1、x3、x5若它们成等比数列则根据x32=x1x5，即求出λ即可；
（2）设an=
，由已知，数列{an}是以
=1为首项、λ为公比的等比数列，化简不等式左边由0＜λ＜1，常数k∈N*且k≥3得证．
| xn+1 |
| xn |
| xn |
| xn-1 |
（2）设an=
| xn+1 |
| xn |
| x2 |
| x1 |
解答：解：（1）解：由已知x1=x2=1，且
=λ
?x3=λ，
=λ
?x4=λ3，
=λ
?x5=λ6．
若x1、x3、x5成等比数列，
则x32=x1x5，即λ2=λ6．而λ≠0，
解得λ=±1．
（2）证明：设an=
，由已知，数列{an}是以
=1为首项、λ为公比的等比数列，
故
=λn-1，
则
=
.
=λn+k-2．λn+k-3λn-1
λkn+
．
因此，对任意n∈N*，
+
+…+
=λk+
+λ2k+
+…+λkn+
=λ
(λk+λ2k+…+λnk)
=λ
．
当k≥3且0＜λ＜1时，0＜λ
≤1，0＜1-λnk＜1，
所以
+
+…+
＜
(n∈N*)．
| x3 |
| x2 |
| x2 |
| x1 |
| x4 |
| x3 |
| x3 |
| x2 |
| x5 |
| x4 |
| x4 |
| x3 |
若x1、x3、x5成等比数列，
则x32=x1x5，即λ2=λ6．而λ≠0，
解得λ=±1．
（2）证明：设an=
| xn+1 |
| xn |
| x2 |
| x1 |
故
| xn+1 |
| xn |
则
| xn+k |
| xn |
| xn+k |
| xn+k-1 |
| xn+k-1 |
| xn+k-2 |
| xn+1 |
| xn |
λkn+
| k(k-3) |
| 2 |
因此，对任意n∈N*，
| x1+k |
| x1 |
| x2+k |
| x2 |
| xn+k |
| xn |
| k(k-3) |
| 2 |
| k(k-3) |
| 2 |
| k(k-3) |
| 2 |
| k(k-3) |
| 2 |
=λ
| k(k-3) |
| 2 |
| λk(1-λnk) |
| 1-λk |
当k≥3且0＜λ＜1时，0＜λ
| k(k-3) |
| 2 |
所以
| x1+k |
| x1 |
| x2+k |
| x2 |
| xn+k |
| xn |
| λk |
| 1-λk |
点评：本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、等差数列前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．
练习册系列答案
相关题目