Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为F₁，F₂，且

F1P

•

F2P

=-6．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若M，N是直线x=5上的两个动点，且F₁M⊥F₂N，则以MN为直径的圆C是否过定点？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意分别写出

F1P

与

F2P

，所以

F1P

•

F2P

=(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6，解得c=4，再结合椭圆的定义可得a得数值，进而得到椭圆E的方程．　　　　
（2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），则得到

F1M

，

F2N

，所以

F1M

•

F2N

=9+mn=0，即mn=-9，并且得到圆C的方程为(x-5)2+(y-

m+n

2

)2=(

|m-n|

2

)2，化简可得（x-5）²+y²-（m+n）y-9=0，令y=0，可得x=8或2，即可得到答案．

解答：解：（1）设点F₁，F₂的坐标分别为（-c，0），（c，0）（c＞0），
则

F1P

=(3+c，1)，

F2P

=(3-c，1)，
故

F1P

•

F2P

=(3+c)(3-c)+1=10-c2=-6，
解得c=4，
所以2a=|PF1|+|PF2|=

(3+4)2+12

+

(3-4)2+12

=6

2

，
所以a=3

2

，b2=a2-c2=18-16=2，
所以椭圆E的方程为

x2

18

+

y2

2

=1．　　　　　
（2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），则

F1M

=(9，m)，

F2N

=(1，n)，
因为

F1M

⊥

F2N

，
所以

F1M

•

F2N

=9+mn=0，即mn=-9，
又因为圆C的圆心为(5，

m+n

2

)，半径为

|m-n|

2

，
所以圆C的方程为(x-5)2+(y-

m+n

2

)2=(

|m-n|

2

)2，
即（x-5）²+y²-（m+n）y+mn=0，即（x-5）²+y²-（m+n）y-9=0，
令y=0，可得x=8或2，
所以圆C必过定点（8，0）和（2，0）．

点评：此题是个中档题．考查椭圆的定义和标准方程的求法，以及圆与椭圆的综合等知识，同时考查了学生分析问题与解决问题的能力．