Question

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0，x∈R）的图象的相邻两对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，且f（$\frac{π}{24}$）=3．
（1）求A的值；
（2）若三角形ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，b＞c，f（C）+f（-C）=-$\sqrt{6}$，求c的大小．

Answer 1

分析 （1）直接利用对称轴之间的距离求出函数的周期，进一步利用函数的值求出A的值，
（2）利用函数的关系式，进一步利用已知的关系式求出C的值，再利用余弦定理求出c的值．

解答 解：（1）函数f（x）=Asin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0，x∈R）的图象的相邻两对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，
则：函数的最小正周期为π，
所以：T=$\frac{2π}{ω}=π$，解得：ω=2，
所以f（x）=$Asin（2x+\frac{π}{4}）$，
由于$f（\frac{π}{24}）=3$，
所以：$Asin（2•\frac{π}{24}+\frac{π}{4}）=3$，
解得：A=2$\sqrt{3}$；
（2）由（1）得：$f（x）=2\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
已知：f（C）+f（-C）=-$\sqrt{6}$，
所以：$2\sqrt{3}sin（2C+\frac{π}{4}）+2\sqrt{3}$$sin（-2C+\frac{π}{4}）=-\sqrt{6}$，
整理得：$2\sqrt{3}•\sqrt{2}cos2C=-\sqrt{6}$，
解得：$cos2C=-\frac{1}{2}$，
由于：0＜C＜π，
解得：$C=\frac{π}{3}$，又因为：且a=3，b=4，
利用余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
解得：$c=\sqrt{13}$．

点评 本意考察：三角函数的性质周期性的应用，利用函数的值求出A的值，余弦定理的应用，主要考查学生的应用能力．