题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,函数
在区间
上的最小值为-5,求
的值;
(Ⅱ)设,且
有两个极值点
,
.
(i)求实数的取值范围;
(ii)证明:.
【答案】(Ⅰ)8;(Ⅱ)(i);(ii)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)对求导,
可得
,
单调递增,得到
最小值,从而得到
的值.
(Ⅱ)(i)有两个极值点
,
,通过参变分离转化为
有两个不相等的实数根,再转化成两个函数交点问题,从而得到
的取值范围.
(ii)根据题意得到,
,两式相加、减消去
,设
构造出关于
的函数,利用导数得到单调性,进行证明.
解:(Ⅰ),
∵,
,∴
,
所以在区间
上为单调递增.
所以,
又因为,
所以的值为8.
(Ⅱ)(i)∵
,
且的定义域为
,
∴.
由有两个极值点
,
,
等价于方程有两个不同实根
,
.
由得:
.
令,
则,由
.
当时,
,则
在
上单调递增;
当时,
,则
在
上单调递减.
所以,当时,
取得最大值
,
∵,∴当
时,
,当
时,
,
所以,解得
,所以实数
的取值范围为
.
(ii)证明:不妨设,
且①,
②,
①+②得: ③
②-①得: ④
③÷④得:,即
,
要证:,
只需证.
即证:.
令,
设,
.
∴在
上单调递增,
∴,即
,
∴.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度,某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人,并得到如图所示的频率分布直方图,在这100人中不支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如表所示:
(1)由频率分布直方图,估计这100人年龄的平均数;
(2)根据以上统计数据填写下面的22列联表,据此表,能否在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异?
45岁以下 | 45岁以上 | 总计 | |
不支持 | |||
支持 | |||
总计 |
参考数据:
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】某工厂生产、
两种零件,其质量测试按指标划分,指标大于或等于
的为正品,小于
的为次品.现随机抽取这两种零件各100个进行检测,检测结果统计如下:
测试指标 | |||||
| 8 | 12 | 40 | 30 | 10 |
| 9 | 16 | 40 | 28 | 7 |
(Ⅰ)试分别估计、
两种零件为正品的概率;
(Ⅱ)生产1个零件,若是正品则盈利50元,若是次品则亏损10元;生产1个零件
,若是正品则盈利60元,若是次品则亏损15元,在(Ⅰ)的条件下:
(i)设为生产1个零件
和一个零件
所得的总利润,求
的分布列和数学期望;
(ii)求生产5个零件所得利润不少于160元的概率.