Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：①对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）．②当x＜0时，f（x）＞0且f（1）=-3 两个条件，
（1）求证：f（0）=0；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）解不等式f（2x-2）-f（x）≥-12．

Answer 1

分析：（1）赋值法，令x=y=0可证得f（0）=0；
（2）令y=-x代入式子化简，结合函数奇偶性的定义，可得f（x）是奇函数；
（3）设x₁＜x₂，由主条件构造f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）由x＜0时f（x）＞0可证得函数的单调性，然后化简不等式，利用单调性去掉“f”，从而可求出不等式的解集．

解答：（1）证明：令x=y=0，f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0
（2）解：令y=-x
∴f（0）=f（-x）+f（x）=0
∴f（x）=-f（-x）
∴函数f（x）是奇函数
（3）解：设x₁＜x₂则x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）＞0
∴f（x）为R上减函数
∵f（2x-2）-f（x）=f（2x-2）+f（-x）=f（x-2）≥-12，-12=4f（1）=f（4）
∴x-2≤4即x≤6
∴不等式f（2x-2）-f（x）≥-12的解集为{x|x≤6}

点评：本题考查抽象函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的判断，以及解抽象不等式，解此类题目，注意赋值法的运用，属于中档题．