Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n （2n-1），（n∈N*）
（1）证明数列{a_n}为等差数列；
（2）设数列{b_n} 满足b_n=S1+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

（n∈N*），试判定：是否存在自然数n，使得b_n=900，若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由关系式a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求出a_n，注意验证当n=1时是否成立，再由等差数列的定义进行判断；
（2）由（1）的结果先求出通项公式

Sn

n

，再求出b_n，再代入b_n=900进行求解说明即可．

解答：解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（2n-1）-（n-1）（2n-3）=4n-3，
当n=1时，a₁=S₁=1，适合．∴a_n=4n-3，
∵a_n-a_n-1=4（n≥2），∴a_n为等差数列．
（2）由题意知，

Sn

n

=2n-1，
∴b_n=S1+

S2

2

+

S3

3

++

Sn

n

=1+3+5+7++(2n-1)=n2，
由n²=900，得n=30，即存在满足条件的自然数，且n=30．

点评：本小题主要考查等差数列及数列求和等基础知识，以及数列的前n项和与通项公式的关系式，需要先求数列的通项公式，再求数列的前n项和，考查运算求解能力．