题目内容
(本小题满分15分) 如图，在三棱锥
中，
，
，点
分别是
的中点，
底面
．
（1）求证：
平面
；
（2）当
时，求直线
与平面
所成角的正弦值；
（3）当
为何值时，
在平面内的射影恰好为
的重心．
（1）证明见解析。
（2）
（3）
解析:
（1）证明：
平面
，
．
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系
．
设
，则
．
设
，则
．
为
的中点，
．
，
．
，
平面．
（2），即
，
，
可求得平面的法向量
．
．
设与平面所成的角为
，
则
．
与平面所成的角的正弦值为．
（3）的重心
，
，
平面，
．又
，
．
．
，即．反之，当时，三棱锥
为正三棱锥．
在平面内的射影为的重心．
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的单调区间；
，试分别解答以下两小题.
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
是两个不相等的正数，且
，求证：
．
、
分别为椭圆
：
的 
：
的焦点，
是
。
：
，过点P的动直线
与圆
，
（
且
）。求证：点Q总在某定直线上。
的左、右焦点分别为
、
，过
与椭圆相交于A、B两点。
，且
，求椭圆的离心率；
求
的最大值和最小值。
在定义域内存在区间
，满足
是否为“优美函数”？若是，求出
；若不是，说明理由；
为“优美函数”，求实数
的取值范围．