题目内容
【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,点E,F分别是BC,PC的中点,用向量方法解决以下问题:
(1)求异面直线AE与PD所成角的大小;
(2)若AB=AP,求二面角E﹣AF﹣C的余弦值的大小.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)推导出,
,
,从而
平面
,以
为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线
与
所成角的大小.
(2) 求出平面的法向量和平面
的法向量,利用向量法能求出二面角
的余弦值的大小.
(1)由四边形为菱形,
,
可得为正三角形.因为
为
的中点,所以
.
又,因此
.
以为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴,建立空间直角坐标系,如图:
设,
,则
,0,
,
,0,
,
,0,
,
,2,
.
,0,
,
,2,
,
,
异面直线
与
所成角的大小为
.
(2),
设
,则
,
,0,
,
,0,
,
,1,
,
,0,
,
,
,
.
,0,
,
,
,
,
,
,
设平面的法向量
,
,
,
则,取
,得
,2,
,
设平面的法向量
,
,
,
则,取
,得
,
,
,
设二面角的平面角为
,
则,
二面角
的余弦值为
.
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