Question

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．
（1）证明：EM⊥BF；
（2）（文科）求三棱锥E-ABF的体积
（理科）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）根据线面垂直得到线与线垂直，根据直径所对的圆周角是直角，得到两个三角形是等腰直角三角形，有线面垂直得到结果．
（2）（文科）由VE-ABF=VB-AEF=

1

3

MB•S△AEF，求出底面面积和高，代入棱锥体积公式可得答案．
（理科）做出辅助线，延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．，做出∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角．

解答：证明：（1）∵EA⊥面ABC，BM?面ABC，
∴EA⊥MB
∴MB⊥AC，AC∩EA=A，
∴MB⊥面ACEF
∵EM?面ACEF，
∴EM⊥MB
在直角梯形ACEF中，EA=3，FC=1，AC=4
∴EF=2

5

在Rt△ABC中，
∵∠BAC=30°，BM⊥AC
∴AM=3，CM=1
∴EM=3

2

，MF=

2

∵EF²=EM²+MF²
∴EM⊥MF，又MB∩MF=M
∴EM⊥面MBF，
∵BF?面MBF
∴EM⊥BF…（8分）
解：（2）
（文科） 由（1）知，MB⊥面ACFE
∴VE-ABF=VB-AEF=

1

3

MB•S△AEF
在直角梯形ACEF中，
S△AEF=

1

2

AE•AC=6，MB=

3

∴VE-ABF=2

3

…（14分）
（理科）延长EF交AC于H，连结BH
过C做CG⊥BH，垂足G
FC∥EA，EA⊥面ABC
∴FC⊥面ABC，
∵BH?面ABC
∴BH⊥FC，∵FC∩CG=C
∴BH⊥面FCG，∵FG?面FCG
∴BH⊥FG
∴∠CGF为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角
在直角梯形ACEF中，CH=2
在△BCH中，CH=2，BC=2，∠BCH=120°
∴CG=1，
在Rt△CGF中，FC=1
∴∠CGF=45°
平面BEF与平面ABC所成的锐二面角正切值为1…（14分）

点评：本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．