题目内容

16.设an是($\sqrt{x}$+3)n+1(n∈N*)的展开式中含x项的系数,数列{$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}}$}的前n项和为Sn,则Sn=6-$\frac{6}{n+1}$.

分析 先求出二项式展开式的通项公式,再令x的幂指数等于01,求得r的值,即可求得展开式中的含x项的系数an,再用裂项法求得数列{$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}}$}的前n项和为Sn的值.

解答 解:($\sqrt{x}$+3)n+1(n∈N*)的展开式的通项公式为 Tr+1=${C}_{n+1}^{r}$•3r•${x}^{\frac{n+1-r}{2}}$,
令$\frac{n+1-r}{2}$=1,可得r=n-1,∴an =${C}_{n+1}^{n-1}$•3n-1 =${C}_{n+1}^{2}$•3n-1
故$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{{C}_{n+1}^{2}}$=$\frac{6}{n(n+1)}$=6•($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$),
故数列{$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}}$}的前n项和为Sn=6[(1-$\frac{1}{2}$)+($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)+…($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$)]=6-$\frac{6}{n+1}$,
故答案为:6-$\frac{6}{n+1}$.

点评 本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,用裂项法进行数列求和,属于中档题.

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