Question

某公司的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售． 第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A型商品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．  第二年，商场开始对该商品征收比率为p%的管理费（即销售100元要征收p元），于是该商品的定价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（1）将第二年商场对该商品征收的管理费y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；（2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，求征收管理费比率p%的范围．

Answer 1

解：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8-p）万件，
年销售收入为（11.8-p）万元．
则商场该年对该商品征收的总管理费为（11.8-p）p%（万元）． 
故所求函数为y=（118-10p）p．
由11.8-p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜．
（2）由y≥14得（118-10p）p≥14．
化简得p²-12p+20≤0，即（p-2）（p-10）≤0，解得2≤p≤10．
故当比率在[2%，10%]内时，商场收取的管理费将不少于14万元．   
分析：（1）依题意，先求第二年该商品年销售量为（11.8-p）万件，年销售收入  （11.8-p）万元，从而可求第二年商场对该商品征收的管理费y（万元）表示成p的函数；
 （2）由y≥14，建立不等式（118-10p）p≥14，可求商场收取的管理费的范围．
点评：本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查函数模型的建立，关键是根据题意构建函数，同时考查解不等式，求函数的最值，属于中档题．