Question

某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售．第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A型商品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．第二年，商场开始对该商品征收比率为p%的管理费（即销售100元要征收p元），于是该商品的定价上升为每件

70

1-p%

元，预计年销售量将减少p万件．
（1）将第二年商场对该商品征收的管理费y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p%的范围是多少？
（3）第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？

Answer 1

分析：（1）依题意，先求第二年该商品年销售量为（11.8-p）万件，年销售收入

70

1-p%

（11.8-p）万元，从而可求第二年商场对该商品征收的管理费y（万元）表示成p的函数；
（2）由y≥14，建立不等式

7

100-p

（118-10p）p≥14，可求商场收取的管理费的范围；
（3）在（2）的基础上，求函数的最值，注意函数的定义域及函数为减函数可求．

解答：解：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8-p）万件，年销售收入为

70

1-p%

（11.8-p）万元，?
则商场该年对该商品征收的总管理费为

70

1-p%

（11.8-p）p%（万元）．故所求函数为：y=

7

100-p

（118-10p）p．
11.8-p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜

59

5

．
（2）由y≥14，得

7

100-p

（118-10p）p≥14．?化简得p²-12p+20≤0，即（p-2）（p-10）≤0，解得2≤p≤10．?
故当比率在[2%，10%]内时，商场收取的管理费将不少于14万元．
（3）第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时，
厂家的销售收入为g（p）=

70

1-p%

（11.8-p）（2≤p≤10）．
∵g（p）=

70

1-p%

（11.8-p）=700（10+

882

p-100

）为减函数，?
∴g（p）_max=g（2）=700（万元）．?
故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元

点评：本题的关键是根据题意构建函数，同时考查解不等式，求函数的最值，属于中档题．