Question

设命题p：方程

x2

a+6

+

y2

a-7

=1表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线，命题q：存在x∈R，则x²-4x+a＜0．
（1）写出命题q的否定；
（2）若“p或非q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据特称命题的否定是全称命题，而且即否定量词也否定结论，由原命题易得命题q的否定；
（2）若“p或非q”为真命题，即p与非q中至少有一个为真，根据双曲线的标准方程及二次不等式恒成立的充要条件，可得实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵命题q：存在x∈R，则x²-4x+a＜0
非命题q：任意x∈R，则x²-4x+a≥0…（5分）
（2）若p真，即方程

x2

a+6

+

y2

a-7

=1表示焦点在坐标轴上的双曲线，
则（a+6）（a-7）＜0，
∴-6＜a＜7．
若非q真，△=16-4a≤0
∴a≥4…（11分）
因为“p或非q”为真命题，所以p与非q中至少有一个为真，…（13分）
∴-6＜a＜7或a≥4
即a＞-6…（15分）

点评：本题考查的知识点是双曲线的标准方程，复合命题的真假，命题的否定，二次不等式的恒成立问题，难度中档