题目内容

如图F1（-c，0），F2（c，0）为双曲线E的两焦点，以F1F2为直径的圆O与双曲线E交于M、N、M1、N1，B是圆O与y轴的交点，连接MM1与OB交于H，且H是OB的中点．
（1）当c=1时，求双曲线E的方程；
（2）试证：对任意的正实数c，双曲线E的离心率为常数；
（3）连接F1M与双曲线E交于点A，是否存在常数λ，使
F1A
=λ
AM
恒成立，若存在试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）由c=1，知B（0，1），H(0，
1
2
)，M(
3
2
，
1
2
)，由此能求出双曲线E的方程．
（2）由F1(-c，0)，B(0，c)，H(0，
c
2
)，M(
3
c
2
，
c
2
)，能够证明对任意的正实数c，双曲线E的离心率为常数e=
2
．
（3）设存在常数λ，使
F1A
=λ
AM
恒成立，所以F1(-c，0)，M(
3
c
2
，
c
2
)，
A(
(
3
λ-2)c
2(1+λ)
，
λc
2(1+λ)
)，A在E上，则
(
3
λ-2)2c2
4(1+λ)2a2
-
λ2c2
4(1+λ)2b2
=1，由e=
2
，则
c
a
=
c
b
=
2
，知λ=
3
-1
4
．
解答：解：（1）由c=1有B（0，1），H(0，
1
2
)，M(
3
2
，
1
2
)，
设E：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，M在E上，则
a2+b2=1
3
4a2
-
1
4b2
=1
解得
a2=
1
2
b2=
1
2
，
∴当c=1时，双曲线E的方程E：2x2-2y2=1
（2）F1(-c，0)，B(0，c)，H(0，
c
2
)，M(
3
c
2
，
c
2
)
设E：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，
a2+b2=c2
3c2
4a2
-
c2
4b2
=1
，即3e4-8e2+4=1，
e2=2或e2=
2
3
(舍)，
∴e=
2
为常数    （8分）
（3）设存在常数λ，
使
F1A
=λ
AM
恒成立，
∴F1(-c，0)，M(
3
c
2
，
c
2
)，
有A(
(
3
λ-2)c
2(1+λ)
，
λc
2(1+λ)
)，A在E上，则
(
3
λ-2)2c2
4(1+λ)2a2
-
λ2c2
4(1+λ)2b2
=1，
∵e=
2
，
则
c
a
=
c
b
=
2
，
∴λ=
3
-1
4

∴存在常数λ=
3
-1
4
使
F1A
=λ
AM
恒成立（12分）
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
练习册系列答案
相关题目
如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的顶点为A1、A2、B1、B2，焦点为F1，
F2，|A1B1|=
7
，
S?A1B1A2B 2=2S?B1F1B2F 2
（1）求椭圆C的方程；
（2）设l是过原点的直线，直线n与l垂直相交于P点，且n与椭圆相交于A，B两点，|OP|=1，求
AP
•
PB
的取值范围．

如图F1(－c，0)F2(c，0)为双曲线E的两焦点，以F1F2为直径的圆O与双曲线E交于M、N、M1、N1，B是圆O与y轴的交点，连接MM1与OB交于H，且H是OB的中点，

(1)当c＝1时，求双曲线E的方程；(4分)

(2)试证：对任意的正实数c，双曲线E的离心率为常数；(4分)

(3)连接F1M与双曲线E交于点A，是否存在常数恒成立，若存在试求出λ的值；若不存在，请说明理由．(5分)

如图F1(－c，0)，F2(c，0)为双曲线E的两焦点，以F1F2为直径的圆O与双曲线E交于M、N、M1、N1，B是圆O与y轴的交点，连接MM1与OB交于H，且H是OB的中点，

(1)当c＝1时，求双曲线E的方程；

(2)试证：对任意的正实数c，双曲线E的离心率为常数；

(3)连接F1M与双曲线E交于点A，是否存在常数恒成立，若存在试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

如图F1(－c，0)，F2(c，0)为双曲线E的两焦点，以F1F2为直径的圆O与双曲线E交于M、N、M1、N1，B是圆O与y轴的交点，连接MM1与OB交于H，且H是OB的中点，

(1)当c＝1时，求双曲线E的方程；

(2)试证：对任意的正实数c，双曲线E的离心率为常数．

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