Question

六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站两端；
（2）甲、乙必须相邻；
（3）甲、乙不相邻；
（4）甲、乙之间间隔两人；
（5）甲、乙站在两端；
（6）甲不站左端，乙不站右端.

Answer 1

(1) 480(2)240 (3) 480（4）144（5）48（6）504

（1）方法一 要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A种站法，根据分步计数原理，共有站法：A·A=480（种）.
方法二 由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A种站法，然后中间4人有A种站法，根据分步计数原理，共有站法：A·A=480（种）.
方法三 若对甲没有限制条件共有A种站法，甲在两端共有2A种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：A-2A=480（种）.
（2）方法一 先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列有A种站法，再把甲、乙进行全排列，有A种站法，根据分步计数原理，共有A·A=240（种）站法.
方法二 先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有A种方法，最后让甲、乙全排列，有A种方法，共有A·A·A=240（种）.
（3）因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”，第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有A种站法，故共有站法为A·A=480（种）.
也可用“间接法”，6个人全排列有A种站法，由（2）知甲、乙相邻有A·A=240种站法，所以不相邻的站法有A-A·A=720-240=480（种）.
（4）方法一 先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A种，故共有A·（3A）=144（种）站法.
方法二 先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A种方法，最后对甲、乙进行排列，有A种方法，故共有A·A·A=144（种）站法.
（5）方法一 首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A种，根据分步计数原理，共有A·A=48（种）站法.
方法二 首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有A种站法，由分步计数原理共有A·A=48（种）站法.
（6）方法一 甲在左端的站法有A种，乙在右端的站法有A种，且甲在左端而乙在右端的站法有A种，共有A-2A+A=504（种）站法.
方法二 以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A·A·A 种，故共有A+A·A·A=504（种）站法.