Question

已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若Q是双曲线C上的任一点，F₁、F₂为双曲线C的左、右两个焦点，从F₁引∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程；
（3）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M（﹣2，0）及AB的中点，求直线 l 在y轴上的截距b的取值范围．

Answer 1

解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，即kx﹣y=0．
∵该直线与圆相切，
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．
设双曲线C的方程为，
∵双曲线C的一个焦点为，
∴2a²=2，a²=1．∴双曲线C的方程为x²﹣y²=1．
（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF₂到T，使|QT|=|OF₁|；
若Q在双曲线的左支上，则在QF₂上取一点T，使|QT|=|QF₁|．
根据双曲线的定义，|TF₂|=2， 所以点T在以F₂为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是
．     ①
由于点N是线段F₁T的中点，设N（x，y），T（x_T，y_T），则
代入①并整理，得点N的轨迹方程为 ．
（3）由．
令f（x）=（1﹣m²）x²﹣2mx﹣2，直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 f（x）=0 在（﹣∞，0）上有两个不等实根，
因此．又AB的中点为，
∴直线L的方程为．
令x=0，得．∵，
∴．
∴故b的取值范围是．