题目内容

甲、乙两人进行5次比赛,如果甲或乙无论谁胜了3次,则宣告比赛结束.假定甲获胜的概率是
2
3
,乙获胜的概率是
1
3
,试求:
(1)比赛以甲3胜1败而宣告结束的概率;
(2)比赛以乙3胜2败而宣告结束的概率;
(3)设甲先胜3次的概率为a,乙先胜3次的概率为b,求a:b.
分析:(1)以甲3胜1负而结束比赛,则甲第4次必胜而前3次必有1次为败,故所求概率为 P=
C
1
3
•(1-
2
3
(
2
3
)
3
,运算求得结果.
(2)以乙3胜2负而结束比赛,则乙第5次必胜而前4次必有2次败,故所求概率为 P′=
C
2
4
(1-
1
3
)
2
(
1
3
)
3
,运算求得结果.
(3)甲先胜3次的情况有3种:3胜无败、3胜1败、3胜2败,其概率分别为
8
27
8
27
16
81
.求得 a=
8
27
+
8
27
+
16
81
的值,可得 b-1的值,从而求得a:b 的值.
解答:解:(1)以甲3胜1负而结束比赛,则甲第4次必胜而前3次必有1次为败.
∴所求概率为 P=
C
1
3
•(1-
2
3
(
2
3
)
3
=
8
27
.(4分)
(2)以乙3胜2负而结束比赛,则乙第5次必胜而前4次必有2次败.
∴所求概率为 P′=
C
2
4
(1-
1
3
)
2
 (
1
3
)
3
=
8
81
 (9分)
(3)甲先胜3次的情况有3种:3胜无败、3胜1败、3胜2败,其概率分别为
8
27
8
27
16
81

∴a=
8
27
+
8
27
+
16
81
=
64
81
,从而 b-1=1-
64
81
=
17
81

故 a:b=64:17.(13分)
点评:本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式,所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系,体现了分类
讨论的数学思想,属于中档题.
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