题目内容
甲、乙两人进行5次比赛,如果甲或乙无论谁胜了3次,则宣告比赛结束.假定甲获胜的概率是
,乙获胜的概率是
,试求:
(1)比赛以甲3胜1败而宣告结束的概率;
(2)比赛以乙3胜2败而宣告结束的概率;
(3)设甲先胜3次的概率为a,乙先胜3次的概率为b,求a:b.
2 |
3 |
1 |
3 |
(1)比赛以甲3胜1败而宣告结束的概率;
(2)比赛以乙3胜2败而宣告结束的概率;
(3)设甲先胜3次的概率为a,乙先胜3次的概率为b,求a:b.
分析:(1)以甲3胜1负而结束比赛,则甲第4次必胜而前3次必有1次为败,故所求概率为 P=
•(1-
)(
)3,运算求得结果.
(2)以乙3胜2负而结束比赛,则乙第5次必胜而前4次必有2次败,故所求概率为 P′=
•(1-
)2 (
)3,运算求得结果.
(3)甲先胜3次的情况有3种:3胜无败、3胜1败、3胜2败,其概率分别为
,
,
.求得 a=
+
+
的值,可得 b-1的值,从而求得a:b 的值.
C | 1 3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
(2)以乙3胜2负而结束比赛,则乙第5次必胜而前4次必有2次败,故所求概率为 P′=
C | 2 4 |
1 |
3 |
1 |
3 |
(3)甲先胜3次的情况有3种:3胜无败、3胜1败、3胜2败,其概率分别为
8 |
27 |
8 |
27 |
16 |
81 |
8 |
27 |
8 |
27 |
16 |
81 |
解答:解:(1)以甲3胜1负而结束比赛,则甲第4次必胜而前3次必有1次为败.
∴所求概率为 P=
•(1-
)(
)3=
.(4分)
(2)以乙3胜2负而结束比赛,则乙第5次必胜而前4次必有2次败.
∴所求概率为 P′=
•(1-
)2 (
)3=
(9分)
(3)甲先胜3次的情况有3种:3胜无败、3胜1败、3胜2败,其概率分别为
,
,
.
∴a=
+
+
=
,从而 b-1=1-
=
,
故 a:b=64:17.(13分)
∴所求概率为 P=
C | 1 3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
8 |
27 |
(2)以乙3胜2负而结束比赛,则乙第5次必胜而前4次必有2次败.
∴所求概率为 P′=
C | 2 4 |
1 |
3 |
1 |
3 |
8 |
81 |
(3)甲先胜3次的情况有3种:3胜无败、3胜1败、3胜2败,其概率分别为
8 |
27 |
8 |
27 |
16 |
81 |
∴a=
8 |
27 |
8 |
27 |
16 |
81 |
64 |
81 |
64 |
81 |
17 |
81 |
故 a:b=64:17.(13分)
点评:本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式,所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系,体现了分类
讨论的数学思想,属于中档题.
讨论的数学思想,属于中档题.
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