题目内容
已知z1，z2∈C且|z1|=4，|z1-z2|=5，|z1+z2|=5，则|z2|=
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．分析：根据所给的两个复数的和与差的模长和一个复数的模长，|z1|，|z1+z2|，|z1-z2|，|z2|四个线段组成以|z1|，|z2|为邻边，|z1+z2|，|z1-z2|为对角线的平行四边形，利用三角形中余弦定理求出结果．
解答：解：已知z1，z2∈C且|z1|=4，|z1-z2|=5，|z1+z2|=5，
∵|z1|，|z1+z2|，|z1-z2|，|z2|四个线段组成以|z1|，|z2|为邻边，
|z1+z2|，|z1-z2|为对角线的平行四边形，设|OM|=|z2|，|OP|=|z1|，|ON|=|z1+z2|，则|MP|=|z1-z2|，
设MP∩ON=Q，在△OPQ中，由余弦定理可得 16=
+
-2×
×
cos∠OQP，
解得 cos∠OQP=-
，∴cos∠OQM=
．
△OQM中，由余弦定理可得 |z2|2=
+
-2×
×
cos∠OQM=9，
故|z2|=3，
故答案为 3．
∵|z1|，|z1+z2|，|z1-z2|，|z2|四个线段组成以|z1|，|z2|为邻边，
|z1+z2|，|z1-z2|为对角线的平行四边形，设|OM|=|z2|，|OP|=|z1|，|ON|=|z1+z2|，则|MP|=|z1-z2|，
设MP∩ON=Q，在△OPQ中，由余弦定理可得 16=
| 25 |
| 4 |
| 25 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
解得 cos∠OQP=-
| 7 |
| 25 |
| 7 |
| 25 |
△OQM中，由余弦定理可得 |z2|2=
| 25 |
| 4 |
| 25 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
故|z2|=3，
故答案为 3．
点评：本题考查复数求模长，本题所应用的是平行四边形的性质和余弦定理，本题是一个数形结合的问题，注意解题过程中的数字运算．
练习册系列答案
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| A、6 | B、5 | C、4 | D、3 |