Question

已知函数f(x)=|x-a|.
（Ⅰ）若不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥5}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f(x)+f(x+4)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）由f(x)≥3得|x-a|≥3，解得x≤a-3或x≥a+3．
又已知不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤-1或x≥5}，所以，解得a=2.……5分
（Ⅱ）当a=2时，f(x)=|x-2|，设g(x)=f(x)+f(x+4)，
于是g(x)=|x-2|+|x+2|=[JB({]-2x,x＜-24，-2≤x≤22x，x＞2[JB)]　所以当x＜-2时，g(x)＞4；当-2≤x≤2时，g(x)=4；当x＞2时，g(x)＞4。
综上可得，g(x)的最小值为4．
从而若f(x)+f(x+4)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（-∞,4］．
法二：（Ⅰ）同法一．
（Ⅱ）当a=2时，f(x)=|x-2|．设g(x)=f(x)+f(x+4)．
由|x-2|+|x+2|≥|（x-2）-（x+2）|=4（当且仅当-2≤x≤2时等号成立），得g(x)的最小值为4．从而，若f(x)+f(x+4)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立．则m的取值范围为(-∞,4］?

解析