题目内容
（2013•济宁二模）定义在（0，
）上的函数f（x），其导函数是f′（x），且恒有f（x）＜f′（x）•tanx成立，则（ ）
| π |
| 2 |
分析：把给出的等式变形得到f′（x）sinx-f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=
，由其导函数的符号得到其在（0，
）上为增函数，则g（
）＜g（
），整理后即可得到答案．
| f(x) |
| sinx |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
解答：解：因为x∈（0，
），所以sinx＞0，cosx＞0．
由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx．
即f′（x）sinx-f（x）cosx＞0．
令g（x）=
，x∈（0，
），则g′（x）=
＞0．
所以函数g（x）=
在x∈（0，
）上为增函数，
则g（
）＜g（
），即
＜
，所以
＜
，
即
f（
）＜f（
）．
故选D．
| π |
| 2 |
由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx．
即f′（x）sinx-f（x）cosx＞0．
令g（x）=
| f(x) |
| sinx |
| π |
| 2 |
| f′(x)sinx-f(x)cosx |
| sin2x |
所以函数g（x）=
| f(x) |
| sinx |
| π |
| 2 |
则g（
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
f(
| ||
sin
|
f(
| ||
sin
|
f(
| ||
|
f(
| ||||
|
即
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
故选D．
点评：本题考查了导数的运算法则，考查了利用函数导函数的符号判断函数的单调性，考查了函数构造法，属中档题型．
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