题目内容
(2013•嘉定区二模)函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0且≠1)是定义域为R的奇函数.
(1)求k值;
(2)若f(1)<0,试判断函数单调性并求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立的t的取值范围.
(1)求k值;
(2)若f(1)<0,试判断函数单调性并求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立的t的取值范围.
分析:(1)根据奇函数的性质可得f(0)=0,由此求得k值.
(2)由f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),f(1)<0,求得1>a>0,f(x)在R上单调递减,不等式化为f(x2+tx)<f(x-4),即x2+(t-1)x+4>0 恒成立,由△<0求得t的取值范围.
(2)由f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),f(1)<0,求得1>a>0,f(x)在R上单调递减,不等式化为f(x2+tx)<f(x-4),即x2+(t-1)x+4>0 恒成立,由△<0求得t的取值范围.
解答:解:(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,
∴1-(k-1)=0,∴k=2.
当k=2时,f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),∴f(-x)=-f(x)成立
∴f(x)是定义域为R的奇函数;
(2)函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),
∵f(1)<0,∴a-
<0,
∵a>0,∴1>a>0.
由于y=ax单调递减,y=a-x单调递增,故f(x)在R上单调递减.
不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0,可化为f(x2+tx)<f(x-4).
∴x2+tx>x-4,即x2+(t-1)x+4>0 恒成立,
∴△=(t-1)2-16<0,解得-3<t<5.
∴1-(k-1)=0,∴k=2.
当k=2时,f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),∴f(-x)=-f(x)成立
∴f(x)是定义域为R的奇函数;
(2)函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),
∵f(1)<0,∴a-
1 |
a |
∵a>0,∴1>a>0.
由于y=ax单调递减,y=a-x单调递增,故f(x)在R上单调递减.
不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0,可化为f(x2+tx)<f(x-4).
∴x2+tx>x-4,即x2+(t-1)x+4>0 恒成立,
∴△=(t-1)2-16<0,解得-3<t<5.
点评:本题考查指数型复合函数的性质以及应用,考查函数的奇偶性的应用,属于中档题.
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