Question

11．二次函数f（x）和g（x）图象开口大小相同，开口方向相反，已知函数g（x）=2x²，f（x）图象的顶点是（1，-7），求：
（1）f（x）的解析式；
（2）f（x）在[-2，2]上的最值．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）与g（x）的关系得出f（x）的二次项系数为-2，然后使用待定系数法求出解析式；
（2）根据f（x）在[-2，2]上的单调性求出最值．

解答 解：（1）∵g（x）=2x²，二次函数f（x）和g（x）图象开口大小相同，开口方向相反，
∴f（x）的二次项系数为-2，
设f（x）=-2x²+bx+c，∵f（x）图象的顶点是（1，-7），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b}{4}=1}\\{-2+b+c=-7}\end{array}\right.$，解得b=4，c=-9．
∴f（x）=-2x²+4x-9．
（2）∵f（x）图象开口向下，对称轴是x=1，
∴f（x）在[-2，1]上单调递增，在（1，2]上单调递减，
∴当x=-2时，f（x）取得最小值f（-2）=-25，
当x=1时，f（x）取得最大值f（1）=-7．

点评 本题考查了二次函数解析式的求法及二次函数的单调性，确定二次项系数是关键，属于基础题．