Question

已知函数f（x）=x²+2ax+b²．
（1）若a是用正六面体骰子从1，2，3，4，5，6这六个数中掷出的一个数，而b是用正四面体骰子从1，2，3，4这四个数中掷出的一个数，求f（x）有零点的概率；
（2）若a是从区间[1，6]中任取的一个数，而b是从区间[1，4]中任取的一个数，求f（x）有零点的概率．

Answer 1

分析：（1）本题是一个古典概型，只要数出总事件数和符合条件的事件数就可以得到结果，总事件数共有6×4=24种情况，而符合条件的事件数是满足判别式△=4a²-4b²≥0
（2）本题是一个几何概型，要看出符合条件的事件对应的几何图形的面积和总事件数对应的面积，要求的概率就等于两个的面积之比，把这两个题目放在一起，目的是要求区分这两种概型．

解答：解：（1）要想f（x）有零点，判别式△=4a²-4b²≥0
分类讨论
当a=1时，b=1
以此类推
a=2    b=1，2
a=3    b=1，2，3
a=4    b=1，2，3，4
a=5    b=1，2，3，4
a=6    b=1，2，3，4
综上共有18种可能都是符合要求的，
∵总事件数共有6×4=24种情况，
∴P=

18

24

=

3

4

．
（2）要想f（x）有零点，判别式△=4a²-4b²≥0
∴a²-b²≥0
则点（6，4）与a，b轴围成的长方形面积就是所有选择到的点的区域，
要想找a²-b²≥0的点，点的横坐标就必须得大于等于纵坐标，
不难看出符合条件的面积是15-

1

2

×3×3=

21

2

所有事件对应的面积是3×5=15
∴P=

21 2

15

=

7

10

点评：如何判断一个试验是否是古典概型还是几何概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，是解题的关键．