题目内容
设0< a,b,c <1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a,不可能同时大于
.

见解析
证明:假设(1-a)b >
,(1-b)c >
,(1-c)a>
,
则三式相乘:(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>
①.
又∵0< a,b,c <1,
∴0<(1-a)a≤[
]2=
.
同理:(1-b)b≤
,(1-c)c≤
,
以上三式相乘:
(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤
,
与①矛盾,
∴(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同时大于
.



则三式相乘:(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>

又∵0< a,b,c <1,
∴0<(1-a)a≤[


同理:(1-b)b≤


以上三式相乘:
(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c≤

与①矛盾,
∴(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同时大于


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