题目内容
【题目】已知椭圆:
的离心率为
,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线:
与椭圆
相交于
,
两点,在
轴上是否存在点
,使直线
与
的斜率之和
为定值?若存在,求出点
坐标及该定值,若不存在,试说明理由.
【答案】(1) (2) 存在点
,使得
为定值,且定值为0.
【解析】试题分析:(1)由椭圆的离心率为
,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为
可得
,解方程组即可的结果;(2)由
得
,根据韦达定理以及过两点的直线的斜率公式可得
,只需令
,即可得结果.
试题解析:(1)由已知可得解得
,
,
所求椭圆方程为.
(2)由得
,
则,解得
或
.
设,
,
则,
,
设存在点,则
,
,
所以
.
要使为定值,只需
与参数
无关,
故,解得
,
当时,
.
综上所述,存在点,使得
为定值,且定值为0.
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