题目内容

8.已知数列{an}的通项公式an=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$(n∈N*),若an+an+1=$\sqrt{11}$-3,则n=9.

分析 把数列的通项公式分母有理化后裂项,代入an+an+1=$\sqrt{11}$-3求得n的值.

解答 解:∵an=$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$,
又an+an+1=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}+\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$=$\sqrt{n+2}-\sqrt{n}$=$\sqrt{11}$-3,
得$\sqrt{n+2}+3=\sqrt{n}+\sqrt{11}$,
两边平方得:$3\sqrt{n+2}=\sqrt{11n}$,
再平方得9n+18=11n,即n=9.
故答案为:9.

点评 本题考查了数列递推式,考查了裂项相消法求数列的通项公式,是中档题.

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