题目内容
已知函数
，方程f（x）=-2x+7有两个根x1，x2，且x1＜1＜x2＜3．（1）求自然数a的值及f（x）的解析式；
（2）记等差数列{an}和等差数列{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且
，设
，求g（n）的解析式及g（n）的最大值；（3）在（2）小题的条件下，若a1=10，写出数列{an}和{bn}的通项，并探究在数列{an}和{bn}中是否存在相等的项？若有，求这些相等项从小到大排列所成数列{cn}的通项公式；若没有，请说明理由．
【答案】分析：（1）由方程f（x）=-2x+76可以化简为：x2+（a2-23）x+8=0，令h（x）=6x2+（a2-23）x+8，再结合二次函数的性质可得a=2，进而求出函数的解析式．
（2）由等差数列的性质可得：
，即可求出函数g（n）的表达式，进而利用函数的有关性质求出其最大值．
（3）
，由
，再利用（2）中的解析式与等差数列的性质可得两个数列的通项公式，进而假设存在相等的项ak=bp，可得矛盾即可得到答案．
解答：解：（1）由
得：6x2+（a2-23）x+8=0；
令h（x）=6x2+（a2-23）x+8，由x1＜1＜x2＜3得：
，
又a∈N，所以有：a=2；…（5分）
所以
； …（6分）
（2）
，并且结合等差数列的性质可得：
，
所以
；…（8分）
并且
．…（12分）
（3）
，由
； …（13分）
设数列{an}和数列{bn}的公差分别为d1，d2；
所以
…（16分）
若存在相等的项ak=bp（k，p∈N*），即16k-6=12p-8⇒6p-8k=1①
①式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立，
故不存在满足条件的数列{cn}．…（18分）
点评：本题主要考查二次函数的有关性质与等差数列的有关性质，以及等差数列的通项公式、函数求最值等知识点．
（2）由等差数列的性质可得：
，即可求出函数g（n）的表达式，进而利用函数的有关性质求出其最大值．（3）
，由，再利用（2）中的解析式与等差数列的性质可得两个数列的通项公式，进而假设存在相等的项ak=bp，可得矛盾即可得到答案．解答：解：（1）由
得：6x2+（a2-23）x+8=0；令h（x）=6x2+（a2-23）x+8，由x1＜1＜x2＜3得：
，又a∈N，所以有：a=2；…（5分）
所以
； …（6分）（2）
，并且结合等差数列的性质可得：，所以
；…（8分）并且
．…（12分）（3）
，由； …（13分）设数列{an}和数列{bn}的公差分别为d1，d2；
所以
…（16分）若存在相等的项ak=bp（k，p∈N*），即16k-6=12p-8⇒6p-8k=1①
①式左边为偶数，右边为奇数，不可能成立，
故不存在满足条件的数列{cn}．…（18分）
点评：本题主要考查二次函数的有关性质与等差数列的有关性质，以及等差数列的通项公式、函数求最值等知识点．
练习册系列答案
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