题目内容
已知函数f（x）=loga（a-ax）且a＞1，（1）求函数的定义域和值域；
（2）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（3）证明函数图象关于y=x对称．
分析：（1）由真数大于零来求定义域，确定值域；
（2）用复合函数的单调性判断；
（3）研究其反函数就是本身．
（2）用复合函数的单调性判断；
（3）研究其反函数就是本身．
解答：解析：（1）a-ax＞0
又∵a＞1，
∴x＜1
故其定义域为（-∞，1），值域为（-∞，1）
（2）设1＞x2＞x1
∵a＞1，∴ax2＞ax1，于是a-ax2＜a-ax1
则loga（a-ax2）＜loga（a-ax1）
即f（x2）＜f（x1）
∴f（x）在定义域（-∞，1）上是减函数
（3）证明：令y=loga（a-ax）（x＜1），则a-ax=ay，x=loga（a-ay）
∴f-1（x）=loga（a-ax）（x＜1）
故f（x）的反函数是其自身，得函数f（x）=loga（a-ax）（x＜1=图象关于y=x对称．
又∵a＞1，
∴x＜1
故其定义域为（-∞，1），值域为（-∞，1）
（2）设1＞x2＞x1
∵a＞1，∴ax2＞ax1，于是a-ax2＜a-ax1
则loga（a-ax2）＜loga（a-ax1）
即f（x2）＜f（x1）
∴f（x）在定义域（-∞，1）上是减函数
（3）证明：令y=loga（a-ax）（x＜1），则a-ax=ay，x=loga（a-ay）
∴f-1（x）=loga（a-ax）（x＜1）
故f（x）的反函数是其自身，得函数f（x）=loga（a-ax）（x＜1=图象关于y=x对称．
点评：本题主要考查函数基本性质，定义域，值域，单调性和对称性．
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