题目内容

对于函数（，D是此函数的定义域），若同时满足下列条件：
①在D内单调递减或单调递增；
②存在区间[a，b]D，使在[a，b]上的值域为[a，b]；
那么把叫闭函数；
（1）求闭函数符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（3）是闭函数，求实数k的取值范围。
解：（1）易知为[a，b]上的减函数，
∴，
又a<b，
∴解得：，
∴区间为[-1，1]。
（2）取，，
则，
故不是（0，+∞）上的减函数；
再取，则，
故不是（-∞，0）上的增函数，
∴不是闭函数。
（3）设函数符合条件②的区间为[a，b]，
则，
∴a，b为方程的两个实根，
∴命题等价于关于x的方程
 有两个不等的实根，
当时，，∴；
当时，，
∴k∈不合题意，
所以，综上所述，k的取值范围是(]。
练习册系列答案
相关题目
（2013•虹口区二模）定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意两个数x1、x2都有f(
x1+x2
2
)≥
1
2
[f(x1)+f(x2)]成立，则称此函数在区间I上是“凸函数”．
（1）判断函数f（x）=lgx在R+上是否是“凸函数”，并证明你的结论；
（2）如果函数f(x)=x2+
a
x
在
1，2
上是“凸函数”，求实数a的取值范围；
（3）对于区间
c，d
上的“凸函数”f（x），在
c，d
上任取x1，x2，x3，…，xn．
①证明：当n=2k（k∈N*）时，f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
1
n
[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]成立；
②请再选一个与①不同的且大于1的整数n，
证明：f(
x1+x2+…+xn
n
)≥
1
n
[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]也成立．
（2013•虹口区二模）定义域为D的函数f（x），如果对于区间I内（I⊆D）的任意两个数x1、x2都有f(
x1+x2
2
)≥
1
2
[f(x1)+f(x2)]成立，则称此函数在区间I上是“凸函数”．
（1）判断函数f（x）=-x2在R上是否是“凸函数”，并证明你的结论；
（2）如果函数f(x)=x2+
a
x
在区间[1，2]上是“凸函数”，求实数a的取值范围；
（3）对于区间[c，d]上的“凸函数”f（x），在[c，d]上的任取x1，x2，x3，…，x2n，证明：f(
x1+x2+…+x2n
2n
)≥
1
2n
[f(x1)+f(x2)+…+f(x2n)]．

对于函数y＝f(x)(x∈D，D是此函数的定义域)若同时满足下列条件：

(Ⅰ)f(x)在D内单调递增或单调递减；

(Ⅱ)存在区间[a，b]D，使f(x)在[a，b]上的值域为[a，b]；那么，把y＝f(x)(x∈D)叫闭函数．

(1)求闭函数y＝－x3符合条件(Ⅱ)的区间[a，b]；

(2)判断函数f(x)＝x＋(x∈R+)是否为闭函数？并说明理由；

(3)若y＝k＋是闭函数，求实数k的取值范围．
若幂函数y=xn对于给定的有理数n，其定义域和值域相同，则此幂函数
[     ]
A．一定是奇函数
B．一定是偶函数
C．一定不是奇函数
D．一定不是偶函数

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