题目内容
（本题满分18分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分，第（3）小题满分6分。
定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆
。
若椭圆
，判断
与
是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；
写出与椭圆相似且短半轴长为
的椭圆
的方程；若在椭圆上存在两点
、
关于直线
对称，求实数的取值范围？
如图：直线
与两个“相似椭圆”
和
分别交于点
和点
，证明：
解：（1）椭圆
与
相似。-------------------2分
因为椭圆的特征三角形是腰长为4，底边长为
的等腰三角形，而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为
的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为
-------------------4分
（2）椭圆
的方程为：
-------------------6分
设
，点
，
中点为
，
则
，所以
-------------------8分
则
-------------------9分
因为中点在直线
上，所以有
，
-------------------10分
即直线
的方程为：
，
由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点，
即方程
有两个不同的实数解，
所以
，即
-------------------12分
（3）证明：
①直线
与
轴垂直时，易得线段AB与CD的中点重合，所以
；-------------------14分
②直线不与轴垂直时，设直线的方程为：
，
，
线段AB的中点，
-------------------15分
线段AB的中点为
-------------------16分
同理可得线段CD的中点为，-------------------17分
即线段AB与CD的中点重合，所以-------------------18分
中，已知过点
的直线与线段
分别相交于点
。若
。
与
的关系为
；
，定义函数
，点列
在函数
的图像上，且数列
是以首项为1，公比为
的等比数列，
为原点，令
，是否存在点
，使得
？若存在，请求出
点坐标；若不存在，请说明理由。
为
上偶函数，当
时
，又函数
对称， 当方程
在
上有两个不同的实数解时，求实数
的取值范围。
，如果存在一个正整数
，使得对任意的
（
）都有
成立，那么就把这样一类数列
时
的周期数列，当
时
是周期为
的周期数列。
满足
（
（
不同时为0），且数列
的周期数列，求常数
的值；
，且
．
，试判断数列
，试判断数列
（
，
，
，数列
的前
，使对任意的
成立，若存在，求出
，如果存在一个正整数
，使得对任意的
（
）都有
成立，那么就把这样一类数列
时
的周期数列，当
时
是周期为
的周期数列。
满足
（
（
不同时为0），且数列
的周期数列，求常数
的值；
，且
．
，试判断数列
，试判断数列
（
，
，
，数列
的前
，使对任意的
成立，若存在，求出
，其中
.
时，设
，
，求
的解析式及定义域；
时，求
的最小值；
，当
时，
对任意
恒成立，求
的取值范围.
是等差数列，且公差为
，若数列
中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
，求证：该数列是“封闭数列”；
是否是“封闭数列”，为什么？
是数列
项和，若公差
，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使
；若存在，求