Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n•log 

1

2

a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2Pⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出等比数列{a_n}的公比为q，根据等比数列的通项公式及等差数列的性质分别化简已知的两条件，得到一个方程组，化简后即可求出a1和q的值，写出数列a_n的通项公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的数列a_n的通项公式代入，利用对数函数的性质化简，确定出b_n的通项公式，列举出数列{b_n}各项的和的相反数设为T_n，记作①，两边乘以2得到另一个关系式，记作②，①-②即可求出-T_n，即为S_n，把求出的S_n代入已知的不等式中化简，即可求出满足题意的最小的正整数n的值．

解答：解：（Ⅰ）设a_n的公比为q，由已知，
得

a2+a3+a4=28 2(a3+2)=a2+a4

?

a3=8 a2+a4=20

?

a1q2=8 a1q+a1q3=20

?

a1=2 q=2

，
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；（5分）
（Ⅱ）bn=2nlog

1

2

2n=-n•2n，
设T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
则2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-T_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n×2ⁿ⁺¹=-（n-1）×2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=-T_n=-（n-1）×2ⁿ⁺¹-2（10分）
故S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50?-（n-1）×2ⁿ⁺¹-2+n×2ⁿ⁺¹＞50，
?2ⁿ＞26，
∴满足不等式的最小的正整数n为5．（12分）

点评：此题考查学生掌握用错项相减的方法求数列前n项的和，以及灵活运用等比数列的通项公式来解决问题．学生做第二问时注意不是直接求S_n，而是利用错位相减的方法先求出S_n的相反数T_n．