题目内容
已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=anlog
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分析：（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；
（II）先求出数列{bn}的通项公式，然后求出-Sn-（-2Sn），即可求得的前n项和Sn．
（II）先求出数列{bn}的通项公式，然后求出-Sn-（-2Sn），即可求得的前n项和Sn．
解答：解：（I）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q
∵a3+2是a2，a4的等差中项
∴2（a3+2）=a2+a4
代入a2+a3+a4=28，得a3=8
∴a2+a4=20
∴
∴
或
∵数列{an}单调递增
∴an=2n
（II）∵an=2n
∴bn=2n•log
2n=-n•2n
∴-sn=1×2+2×22+…+n×2n ①
∴-2sn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n2n+1 ②
∴①-②得，
sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=2n+1-n•2n+1-2
∵a3+2是a2，a4的等差中项
∴2（a3+2）=a2+a4
代入a2+a3+a4=28，得a3=8
∴a2+a4=20
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∴
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∵数列{an}单调递增
∴an=2n
（II）∵an=2n
∴bn=2n•log
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∴-sn=1×2+2×22+…+n×2n ①
∴-2sn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n2n+1 ②
∴①-②得，
sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=2n+1-n•2n+1-2
点评：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，求前n项和一般采取错位相减的办法．
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