Question

已知数列{a_n}是由正数组成的等比数列，S_n是其前n项和．
（1）当首项a₁=2，公比q=时，对任意的正整数k都有（0＜c＜2）成立，求c的取值范围；
（2）判断S_nS_n+2-的符号，并加以证明；
（3）是否存在正常数m及自然数n，使得lg（S_n-m）+lg（S_n+2-m）=2lg（S_n+1-m）成立？若存在，请求出相应的m，n；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵数列{a_n}的首项a₁=2，公比q=，∴=≥2，
而0＜c＜2，对任意的正整数k都有成立，∴S_k+1-c＜2S_k-2c，化为c＜2S_k-S_k+1，
把S_k，S_k+1代入计算得，
先研究函数g（x）=的单调性，x∈（0，+∞）．
∵y=2^x在x∈（0，+∞）上单调递增，∴函数在x∈（0，+∞）上单调递减，
∴函数y=在x∈（0，+∞）上单调递增．
即g（k）=关于k单调递增，又对任意的k恒成立，∴当k=1时g（k）取得最小值，∴0＜c＜=1，即0＜c＜1．
（2）符号为负．
证明：当q=1时，S_nS_n+2-==＜0，
当q≠1时，∵{a_n}是由正数组成的数列，∴q＞0．
当q＞0时且q≠1时，S_nS_n+2-=-
=[（1-qⁿ）（1-qⁿ⁺²）-（1-qⁿ⁺¹）²]
=
=＜0．
综上可知：S_nS_n+2-为负．
（3）假设存在一个正常数m满足题意，则有
，
∴=m（S_n+S_n+2-2S_n+1）（*），
∵S_n+S_n+2-2S_n+1=（S_n-m）+（S_n+2-m）-2（S_n+1-m）≥（S_n+1-m）=0，
∴S_n+S_n+2-2S_n+1≥0，
∴m（S_n+S_n+2-2S_n+1）≥0，
由（1）得S_nS_n+2-＜0．
∴（*）式不成立．
故不存在正常数m使结论成立．
分析：（1）利用等比数列的前n项和公式及不等式的性质即可得出；
（2）通过对公比q分类讨论，利用等比数列的前n和公式即可得出；
（3）假设存在一个正常数m满足题意，利用已知条件就基本不等式的性质得出矛盾，从而可知不存在正常数m满足题意．
点评：熟练掌握等比数列的前n项和公式、对公比q分类讨论、不等式的性质、基本不等式的性质、对数的运算性质是解题的关键．