题目内容

已知数列{an}是由正数构成的数列，a1=3，且满足lgan=lgan-1+lgc，其中n是大于1的整数，c是正数．
（1）求数列{an}的通项公式及前n和Sn；
（2）求
lim
n→∞
2n-1-an
2n+an+1
的值．
分析：（1）由已知得an=3•cn-1．由此可知Sn=
3n                                    (c=1)
3(1-cn)
1-c
                           (c＞0且c≠1).

（2）
lim
n→∞
2n-1-an
2n+an+1
=
lim
n→∞
2n-1-3cn-1
2n+3cn
．再由c的取值范围分别讨论
lim
n→∞
2n-1-an
2n+an+1
的值．
解答：解：（1）由已知得an=c•an-1，
∴{an}是以a1=3，公比为c的等比数列，则an=3•cn-1．
∴Sn=
3n                                    (c=1)
3(1-cn)
1-c
                           (c＞0且c≠1).

（2）
lim
n→∞
2n-1-an
2n+an+1
=
lim
n→∞
2n-1-3cn-1
2n+3cn
．
①当c=2时，原式=-
1
4
；
②当c＞2时，原式=
lim
n→∞
(
2
c
)n-1-3
2•(
2
c
)n-1+3c
=-
1
c
；
③当0＜c＜2时，原式=
lim
n→∞
1-3(
c
2
)n-1
2+3c•(
c
2
)n-1
=
1
2
．
点评：求数列极限时要注意分类讨论思想的应用．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}是由正数组成的等差数列，p，q，r为非零自然数．
证明：（1）若p+q=2r，则
1
a
2
p
+
1
a
2
q
≥
2
a
2
r
；
（2）
1
a
2
1
+
1
a
2
2
+…+
1
a
2
2n-2
+
1
a
2
2n-1
≥
2n-1
a
2
n
(n＞1)．
（2006•石景山区一模）已知数列{an}是由正整数组成的数列，a1=4，且满足lgan=lgan-1+lgb，其中b＞3，n≥2，且n∈N*，则an=
4bn-1
4bn-1
，
lim
n→∞
3n-1-an
3n-1+an
=
-1
-1
．
已知数列{an}是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项的和，并且a3=5，a4S2=28．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）证明：不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)•
1
2n+1
≥
2
3
3
对一切n∈N均成立．
已知数列{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和．
（1）当首项a1=2，公比q=
1
2
时，对任意的正整数k都有
Sk+1-c
Sk-c
＜2（0＜c＜2）成立，求c的取值范围；
（2）判断SnSn+2-
S
2
n+1
(n∈N*)的符号，并加以证明；
（3）是否存在正常数m及自然数n，使得lg（Sn-m）+lg（Sn+2-m）=2lg（Sn+1-m）成立？若存在，请求出相应的m，n；若不存在，说明理由．

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