题目内容

设函数f(x)=|x|x+bx+c,则下列命题中正确命题的序号有
 
(请将你认为正确命题的序号都填上)
①当b>0时,函数f(x)在R上是单调增函数;
②当b<0时,函数f(x)在R上有最小值;
③函数f(x)的图象关于点(0,c)对称;
④方程f(x)=0可能有三个实数根.
分析:①当b>0时,把函数f(x)=|x|x+bx+c分x≥0和x<0两种情况讨论,转化为二次函数求单调性;
②当b<0时,函数f(x)在R上有最小值,可以根据函数的对称性加以判断;
③函数f(x)的图象关于点(0,c)对称,可以根据函数图象的平移解决;
④方程f(x)=0可能有三个实数根,对b,c去特殊值.
解答:解:①当b>0时,f(x)=|x|x+bx+c=
x2+bx+c  ,x≥0
-x2+bx+c,x<0
,知函数f(x)在R上是单调增函数;
②当b<0时,f(x)=|x|x+bx+c=
x2+bx+c  ,x≥0
-x2+bx+c,x<0
值域是R,故函数f(x)在R上没有最小值;
③若f(x)=|x|x+bx那么函数f(x)是奇函数(f(-x)=-f(x)),也就是说函数f(x)的图象关于(0,0)对称.而函数f(x)=|x|x+bx+c的图象是由函数f(x)=|x|x+bx的图象沿Y轴移动,故图象一定是关于(0,c)对称的.
④令b=-2,c=0,则f(x)=|x|x-2x=0,解得x=0,2,-2.所以正确.
故答案为:①③④.
点评:此题考查了分段函数的单调性、对称性和最值问题,对于含有绝对值的一类问题,通常采取去绝对值的方法解决,体现了分类讨论的数学思想;函数的对称性问题一般转化为函数的奇偶性加以分析,再根据函数图象的平移解决,体现了转化、运动的数学思想;对于存在性的命题研究,一般通过特殊值法来解决.是好题,属中档题.
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