Question

19．若存在实数m，n，使得$\frac{1}{e^x}-\frac{a}{x}≥0$的解集为[m，n]，则a的取值范围为（　　）

• A． $（\frac{1}{e^2}，e）$
• B． $（0，\frac{1}{e^2}）$
• C． $（0，\frac{1}{2e}）$
• D． $（0，\frac{1}{e}）$

Answer 1

分析 转化$\frac{1}{e^x}-\frac{a}{x}≥0$为a≤$\frac{x}{{e}^{x}}$，求出表达式的最大值，以及单调区间，即可得到a的取值范围．

解答 解：ae^x≤x（e是自然对数的底数），转化为a≤$\frac{x}{{e}^{x}}$，
令y=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
则y′=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，令y′=0，可得x=1，
当x＞1时，y′＜0，函数y递减；当x＜1时，y′＞0，函数y递增．
则当x=1时函数y取得最大值$\frac{1}{e}$，
由于存在实数m、n，使得f（x）≤0的解集为[m，n]，
则由右边函数y=$\frac{x}{{e}^{x}}$的图象可得a的取值范围为（0，$\frac{1}{e}$）．
故选：D．

点评 本题考查函数的导数的最值的应用，考查转化思想与计算能力．