题目内容
【题目】已知函数有最大值
,
,且
是
的导数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)证明:当,
时,
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)函数求导,讨论函数单调性求最值即可;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, ,求导得
在
上单调递增,由
且
得
,由
,
单调递增,要证
,即
,只要证
,即
,所以只要证
,构造函数
求导证明即可.
试题解析:
(Ⅰ)的定义域为
,
.
当时,
,
在
上为单调递增函数,无最大值,不合题意,舍去;
当时,令
,得
,
当时,
,函数
单调递增;
当时,
,函数
单调递减,
,
,
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, ,
.
,
,
在
上单调递增.
又,
且
,
.
,
当
时,
,
单调递增,
要证,即
,只要证
,即
.
,
,
所以只要证
————(*),
设
(其中
),
,
在(0,1)上为增函数,
,故(*)式成立,从而
.
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