Question

1．已知f（x）=1-$\frac{cos2x}{\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）}$，求定义域及单调区间．

Answer 1

分析 运用二倍角的余弦公式和两角和差的正弦公式化简f（x），再由分母不为0，和正弦函数的单调区间解不等式即可得到所求．

解答 解：f（x）=1-$\frac{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}{\sqrt{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}sinx-\frac{\sqrt{2}}{2}cosx）}$
=1+$\frac{（sinx+cosx）（sinx-cosx）}{sinx-cosx}$=1+sinx+cosx
=1+$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）
=1+$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
由sinx-cosx≠0，可得tanx≠1，
即有x≠kπ$+\frac{π}{4}$，k∈Z，
令2k$π-\frac{π}{2}$≤x$+\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得2k$π-\frac{3π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，解得2kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{4}$，k∈Z，
则有函数的定义域为{x|x≠kπ$+\frac{π}{4}$，k∈Z}，
单调增区间为（2k$π-\frac{3π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$），k∈Z，
单调减区间为（2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{5π}{4}$），k∈Z．

点评 本题考查三角函数的化简，主要考查三角函数的定义域和单调区间，注意运用正弦函数的单调区间是解题的关键．