题目内容
10．已知函数f（x）=-x3+ax2+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在（0，$\frac{2}{3}$）上递增，在（$\frac{2}{3}$，+∞）上递减，求a的值；
（2）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数g（x）=x4-5x3+（2-m）x2+1（m∈R）的图象与函数y=f（x）的图象恰有三个交点，若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）先求出函数的导数，通过f′（$\frac{2}{3}$）=0，解出a的值即可；
（2）问题转化为方程x2-4x+（1-m）=0有两个非零不等实根，得到$\left\{\begin{array}{l}{△=16-4（1-m）＞0}\\{1-m≠0}\end{array}\right.$，解出m的范围即可．
解答 解：（1）∵f′（x）=-3x2+2ax，∴f′（$\frac{2}{3}$）=0，
即：-3（$\frac{2}{3}$）2+2a•$\frac{2}{3}$=0，解得：a=1；
（2）函数y=f（x）与g（x）=x4-5x3+（2-m）x2+1（m∈R）的图象恰有3个交点，
等价于方程-x3+x2+1=x4-5x3+（2-m）x2+1恰有3个不等实根，
∴x4-4x3+（1-m）x2=0，
显然x=0是其中一个根（二重根），
方程x2-4x+（1-m）=0有两个非零不等实根，
则 $\left\{\begin{array}{l}{△=16-4（1-m）＞0}\\{1-m≠0}\end{array}\right.$，
∴m＞-3且m≠1，
故当m＞-3且m≠1时，函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有3个交点．
点评 本题考查了函数的导数的应用，考查二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．
练习册系列答案
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2．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sinωx，-{cos^2}ωx），\overrightarrow n=（cosωx，1）（ω＞0）$，把函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n+\frac{1}{2}$化简为f（x）=Asin（tx+ϕ）+B的形式后，利用“五点法”画y=f（x）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表所示：
（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求ω的值及函数y=f（x）在区间$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}]$上的值域；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$f（\frac{A}{2}+\frac{π}{6}）=1$，c=2，a=$\sqrt{7}$，求$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$．
| x | $\frac{π}{12}$ | $\frac{7π}{12}$ | ① | ||
| tx+ϕ | 0 | $\frac{π}{2}$ | $\frac{3π}{2}$ | 2π | |
| f（x） | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$f（\frac{A}{2}+\frac{π}{6}）=1$，c=2，a=$\sqrt{7}$，求$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$．
如图四边形PDCE是正方形，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，且平面PDCE⊥平面ABCD．
2．设a=$lo{g}_{\frac{1}{3}}$2，b=（$\frac{1}{2}$）0.3，c=log23则（ ）
| A． | a＞b＞c | B． | b＞ac | C． | c＞a＞b | D． | c＞b＞a |
已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，O，D，E分别是AB，A1B1，AA1的中点，点F是AB边上靠近A的四等分点．证明：