Question

如图，在多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h，
（Ⅰ）求侧面ABB₁A₁与底面ABCD所成二面角的大小；
（Ⅱ）证明：EF∥面ABCD；
（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V_估=S_中截面·h来计算。已知它的体积公式是 V=（S_上底面+4S_中截面+S_下底面），试判断V_估与V的大小关系，并加以证明。
（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）

Answer 1

（Ⅰ）解：过B1C1作底面ABCD的垂直平面， 交底面于PQ，过B1作B1G⊥PQ，垂足为G， ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°， ∴AB⊥PQ，AB⊥B1P， ∴∠B1PG为所求二面角的平面角， 过C1作C1H⊥PQ，垂足为H， 由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等， 故四边形B1PQC1为等腰梯形， ∴， 又， ∴， ∴， 即所求二面角的大小为。 （Ⅱ）证明：∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边， 有AB∥CD， 又CD是面ABCD与面CDEF的交线， ∴AB∥面CDEF， ∵EF是面ABFE与面CDEF的交线， ∴AB∥EF， ∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外， ∴EF∥面ABCD。 （Ⅲ）V估＜V； 证明：∵a＞c，b＞d， ∴ ， ∴V估＜V。