题目内容

(本小题满分12分)

设椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,过点垂直的直线交轴负半轴于点,且

(1)求椭圆的离心率;

(2)若过三点的圆恰好与直线相切,求椭圆

方程;

(3)在(2)的条件下,过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于

点,在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形,

如果存在,求出的取值范围,如果不存在,说明理由.

 

【答案】

(1);(2);(3)

【解析】(1) 设Q(x0,0),由(c,0),A(0,b),知     

,由 ,可知中点.

从而得到,,进一步计算可求出记心率的值.

(2)由⑴知,可求出△AQF的外接圆圆心为(-,0),半径r=|FQ|=,

所以再利用圆心到直线l的距离等于半径a,可得到关于a的方程解出a值,从而得到椭圆C的方程.

(3) 设平行四边形是菱形可转化为, ,

所以,则,然后直线MN与椭圆方程联立,消y,再借助韦达定理来解决即可.

解:(1)设Q(x0,0),由(c,0),A(0,b)

      

由于 即中点.

,  

故椭圆的离心率              (3 分)    

(2)由⑴知于是,0) Q

△AQF的外接圆圆心为(-,0),半径r=|FQ|=

所以,解得=2,∴c =1,b=, 

所求椭圆方程为            (6 分)  

(3)由(Ⅱ)知     

   代入得

              (8分)

由于菱形对角线垂直,则                  

       

        (10分)

由已知条件知          

    

故存在满足题意的点P且的取值范围是.     (12 分)

 

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