题目内容
(本小题满分12分)
设椭圆:
的左、右焦点分别为
,上顶点为
,过点
与
垂直的直线交
轴负半轴于点
,且
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若过、
、
三点的圆恰好与直线
:
相切,求椭圆
的
方程;
(3)在(2)的条件下,过右焦点作斜率为
的直线
与椭圆
交于
、
两
点,在轴上是否存在点
使得以
为邻边的平行四边形是菱形,
如果存在,求出的取值范围,如果不存在,说明理由.
【答案】
(1);(2)
;(3)
【解析】(1) 设Q(x0,0),由(c,0),A(0,b),知
,由
,可知
为
中点.
从而得到,
,进一步计算可求出记心率的值.
(2)由⑴知,可求出△AQF的外接圆圆心为(-
,0),半径r=
|FQ|=
,
所以再利用圆心到直线l的距离等于半径a,可得到关于a的方程解出a值,从而得到椭圆C的方程.
(3) 设,
平行四边形是菱形可转化为,
,
所以,则
,然后直线MN与椭圆方程联立,消y,再借助韦达定理来解决即可.
解:(1)设Q(x0,0),由(c,0),A(0,b)
知
,
由于 即
为
中点.
故,
故椭圆的离心率
(3 分)
(2)由⑴知得
于是
(
,0) Q
,
△AQF的外接圆圆心为(-,0),半径r=
|FQ|=
所以,解得
=2,∴c =1,b=
,
所求椭圆方程为
(6 分)
(3)由(Ⅱ)知
:
代入得
设,
则,
(8分)
由于菱形对角线垂直,则
故
则
(10分)
由已知条件知且
故存在满足题意的点P且的取值范围是
.
(12 分)

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