题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,A(﹣2,0),B(2,0),P为不在x轴上的动点,直线PA,PB的斜率满足kPAkPB.
(1)求动点P的轨迹Γ的方程;
(2)若M,N是轨迹Γ上两点,kMN=1,求△OMN面积的最大值.
【答案】(1)(y≠0);(2)
【解析】
(1)设P(x,y)为轨迹Γ上任意一点,根据kPAkPB,得到
,化简即得解;
(2)设MN:y=x+b,联立得到韦达定理,利用弦长公式表示弦长|MN|,O到直线MN的距离,继而表示△OMN的面积,利用导数研究单调性,求最值即可.
(1)设P(x,y)为轨迹Γ上任意一点,则根据kPAkPB.
即,
整理得动点P的轨迹Γ的方程为:(y≠0);
(2)设MN:y=x+b,联立,
整理得5x2+8bx+4b2﹣4=0,
△=5﹣b2>0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则x1+x2b,x1x2
(b2﹣1),
|MN||x1﹣x2|
,
O到直线MN的距离d,
所以△OMN面积S,
设f(b)=5b2﹣b4,
则f′(b)=10b﹣4b3=0,
解得b=0或b=±,
又因为5﹣b2>0,
故b=0或b=±
且S(0)=0,S(±)
,
故△OMN的面积S最大值为.
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练习册系列答案
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,
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,
.
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