定义点P(x0.y0)到直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的有向距离为d=Ax0+By0+CA2+B2．已知点P1.P2到直线l的有向距离分别是d1.d2.给出以下命题:①若d1-d2=0.则直线P1P2与直线l平行,②若d1+d2=0.则直线P1P2与直线l平行,③若d1+d2=0.则直线P1P2与直线l垂直,④若d1•d2＜0.则直线P1P2与直线l相交,其中正确命题的序号是④④� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

定义点P（x₀，y₀）到直线l：Ax+By+C=0（A²+B²≠0）的有向距离为d=

Ax0+By0+C

A2+B2

．已知点P₁，P₂到直线l的有向距离分别是d₁，d₂，给出以下命题：
①若d₁-d₂=0，则直线P₁P₂与直线l平行；
②若d₁+d₂=0，则直线P₁P₂与直线l平行；
③若d₁+d₂=0，则直线P₁P₂与直线l垂直；
④若d₁•d₂＜0，则直线P₁P₂与直线l相交；
其中正确命题的序号是

④

④

．

分析：根据有向距离的定义，分别对直线P₁P₂与直线l的位置关系进行判断．

解答：解：设点P₁，P₂的坐标分别为（x₁，y₁）（x₂，y₂），则d1=

Ax1+By1+C

A2+B2

，d2=

Ax2+By2+C

A2+B2

．
①若d₁-d₂=0，则若d₁=d₂，即

Ax1+By1+C

A2+B2

=

Ax2+By2+C

A2+B2

，
∴Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C，
∴若d₁=d₂=0时，即Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C=0，
则点P₁，P₂都在直线l，∴此时直线P₁P₂与直线l重合，∴①错误．
②由①知，若d₁=d₂=0时，满足d₁+d₂=0，
但此时Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C=0，
则点P₁，P₂都在直线l，∴此时直线P₁P₂与直线l重合，∴②错误．
③由①知，若d₁=d₂=0时，满足d₁+d₂=0，
但此时Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C=0，
则点P₁，P₂都在直线l，∴此时直线P₁P₂与直线l重合，∴③错误．
④若d₁•d₂＜0，则

Ax1+By1+C

A2+B2

?

Ax2+By2+C

A2+B2

＜0，
即（Ax₁+By₁+C）（Ax₂+By₂+C）＜0，
∴点P₁，P₂分别位于直线l的两侧，
∴直线P₁P₂与直线l相交，
∴④正确．
故答案为：④．

点评：本题主要考查与直线距离有关的命题的判断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题的关键．综合性较强．

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